Eine Hamel-Basis ist eine Teilmenge B eines Vektorraums V derart , dass jedes Element v ∈ V eindeutig geschrieben werden kann als. mit αb ∈ F, mit der zusätzlichen Bedingung, dass die Menge. ist endlich.
Was ist die Basis von R über Q?
Da Q abzählbar ist, kann man zeigen, dass der von jeder abzählbaren Teilmenge von R erzeugte Unterraum von R abzählbar sein muss. Da R selbst nicht abzählbar ist, kann keine abzählbare Menge eine Basis für R über Q sein Das bedeutet, dass jede Basis für R über Q, falls vorhanden, schwer zu beschreiben sein wird.
Was ist der Unterschied zwischen Basis und Schauder-Basis?
In der Mathematik ähnelt eine Schauder-Basis oder abzählbare Basis der üblichen (Hamel-)Basis eines Vektorraums; Der Unterschied besteht darin, dass Hamel-Basen lineare Kombinationen verwenden, die endliche Summen sind, während sie für Schauder-Basen unendliche Summen sein können.
Ist eine Hamel-Basis zählbar?
b) Jede Hamel-Basis von X ist überabzählbar. Der Beweis verwendet den Baireschen Kategoriensatz und die Tatsache, dass jeder endlichdimensionale Unterraum eines Banachraums abgeschlossen ist (siehe [FHH+, Proposition 1.36]).
Was ist die Basis eines unendlich dimensionalen Vektorraums?
Unendlich dimensionale Räume
Ein Raum ist unendlich dimensional, wenn er keine Basis hat, die aus endlich vielen Vektoren besteht. Nach Zorn Lemma (siehe hier) hat jeder Raum eine Basis, also hat ein unendlich dimensionaler Raum eine Basis bestehend aus unendlich vielen Vektoren (manchmal sogar unzählbar)
