Möglichkeiten, eine Gruppe anzuzeigen, sind abelsch
- Zeige den Kommutator [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 zweier beliebiger Elemente x, y∈G x, y ∈ G muss die Identität sein.
- Zeigen Sie, dass die Gruppe isomorph zu einem direkten Produkt zweier abelscher (Unter-)Gruppen ist.
Woher weißt du, ob eine Gruppe kommutativ ist?
Wenn in einer Gruppe das Kommutativgesetz gilt, dann heißt eine solche Gruppe Abelsche Gruppe oder Kommutativgruppe. Die Gruppe (G, ∗) heißt also eine abelsche Gruppe oder kommutative Gruppe, wenn a∗b=b∗a, ∀a, b∈G. Eine nicht-abelsche Gruppe heißt nicht-abelsche Gruppe.
Wie zeigt man, dass eine Gruppe nicht abelsch ist?
Definition 0.3: Abelsche Gruppe Wenn eine Gruppe die Eigenschaft hat, dass ab=ba für jedes Elementpaar a und b ist, nennen wir die Gruppe abelsch. Eine Gruppe ist nicht-abelsch wenn es ein Elementpaar a und b gibt, für das ab=ba.
Was macht eine Gruppe nicht-abelisch?
In der Mathematik und insbesondere in der Gruppentheorie ist eine nicht-abelsche Gruppe, manchmal auch als nicht-kommutative Gruppe bezeichnet, eine Gruppe (G, ∗), in der es mindestens ein Paar von gibt Elemente a und b von G, so dass a ∗ b ≠ b ∗ a Diese Klasse von Gruppen steht im Gegensatz zu den abelschen Gruppen.
Ist jede Gruppe abelsch?
Alle zyklischen Gruppen sind abelsch, aber eine abelsche Gruppe ist nicht notwendigerweise zyklisch. Alle Untergruppen einer abelschen Gruppe sind normal. In einer abelschen Gruppe befindet sich jedes Element in einer eigenen Konjugationsklasse, und die Zeichentabelle beinh altet Potenzen eines einzelnen Elements, das als Gruppengenerator bekannt ist.
