Das Besondere an einer orthonormalen Basis ist, dass die letzten beiden Gleichheiten gelten. Bei einer orthonormalen Basis haben die Koordinatendarstellungen die gleiche Länge wie die ursprünglichen Vektoren und bilden die gleichen Winkel miteinander.
Wozu dient orthonormal?
Das sind genau die Transformationen, die das Skalarprodukt erh alten und orthogonale Transformationen genannt werden. Wenn man für Berechnungen eine Basis benötigt, ist es normalerweise zweckmäßig, eine orthonormale Basis zu verwenden. Beispielsweise ist die Formel für eine Vektorraumprojektion mit einer orthonormalen Basis viel einfacher.
Sind orthonormale Basen eindeutig?
Also sind nicht nur orthonormale Basen nicht eindeutig, es gibt im Allgemeinen unendlich viele davon.
Warum brauchen wir eine orthogonale Matrix?
Als lineare Transformation bewahrt eine orthogonale Matrix das innere Produkt von Vektoren und wirkt daher als eine Isometrie des euklidischen Raums, wie etwa eine Rotation, Spiegelung oder Rotorreflexion. Mit anderen Worten, es handelt sich um eine einheitliche Transformation.
Wozu dienen orthogonale Vektoren?
Proposition Ein orthogonaler Satz von Vektoren ungleich Null ist linear unabhängig. Bei einem gegebenen Satz von linear unabhängigen Vektoren ist es oft nützlich, sie in einen orthonormalen Satz von Vektoren umzuwandeln. Wir definieren zuerst den Projektionsoperator. Definition.
