Satz 1 Jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert.
Wie findet man den Grenzwert einer Cauchy-Folge?
Beweise: Der Grenzwert einer Cauchy-Folge an=limn→∞an.
Konvergiert jede Cauchy-Folge?
Jede reelle Cauchy-Folge ist konvergent. Satz.
Haben alle konvergenten Folgen einen Grenzwert?
Daher ist für alle konvergenten Folgen der Grenzwert eindeutig. Notation Angenommen, {an}n∈N ist konvergent. Dann ist nach Satz 3.1 der Grenzwert eindeutig und wir können ihn sagen wir als l schreiben.
Kann eine Folge gegen zwei verschiedene Grenzwerte konvergieren?
das bedeutet, dass L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, und daher die Folge nicht zwei verschiedene Grenzen haben kann. Da an gegen L1 konvergiert, haben wir für dieses ϵ, dass es einen Index N1 gibt, so dass |an −L1| N1. Gleichzeitig konvergiert an gegen L2, und somit gibt es einen Index N2, so dass |an – L2| N2.
