Eine normale Untergruppe ist eine Untergruppe, die invariant ist unter Konjugation durch irgendein Element der ursprünglichen Gruppe: H ist normal genau dann, wenn g H g − 1=H gHg^ {-1}=H gHg−1=H für alle. g \in G. Entsprechend ist eine Untergruppe H von G genau dann normal, wenn g H=H g gH=Hg gH=Hg für jedes g ∈ G g \in G g∈G. …
Wie beweist man, dass eine Untergruppe normal ist?
Der beste Weg zu beweisen, dass eine Untergruppe normal ist, ist zu zeigen, dass sie eine der äquivalenten Standarddefinitionen von Normalität erfüllt
- Konstruiere einen Homomorphismus mit ihm als Kern.
- Verifiziere die Invarianz unter inneren Automorphismen.
- Bestimme seine linke und rechte Nebenmenge.
- Berechne seinen Kommutator mit der ganzen Gruppe.
Wie nennt man das normale Untergruppe?
In der abstrakten Algebra ist eine normale Untergruppe (auch bekannt als invariante Untergruppe oder selbstkonjugierte Untergruppe) eine Untergruppe, die unter Konjugation durch Mitglieder der Gruppe invariant ist es ist ein Teil.
Warum sind normale Untergruppen wichtig?
Normale Untergruppen sind wichtig, weil sie genau die Kerne von Homomorphismen sind. In diesem Sinne sind sie nützlich, um vereinfachte Versionen der Gruppe über Quotientengruppen zu betrachten.
Ist eine Untergruppe einer normalen Gruppe normal?
Generell ist jede Untergruppe innerhalb der Mitte einer Gruppe normal. Es ist jedoch nicht wahr, dass, wenn jede Untergruppe einer Gruppe normal ist, die Gruppe abelsch sein muss.
