Informell ist eine Gruppe zyklisch, wenn sie von einem einzelnen Element erzeugt wird. Sie ist abelsch, wenn die Multiplikation pendelt. Eine Gruppe ist zyklisch, wenn sie durch ein einzelnes Element erzeugt werden kann.
Ist eine abelsche Gruppe zyklisch?
Alle zyklischen Gruppen sind abelsch, aber eine abelsche Gruppe ist nicht notwendigerweise zyklisch. Alle Untergruppen einer abelschen Gruppe sind normal. In einer abelschen Gruppe befindet sich jedes Element in einer eigenen Konjugationsklasse, und die Zeichentabelle beinh altet Potenzen eines einzelnen Elements, das als Gruppengenerator bekannt ist.
Wie beweist man, dass eine abelsche Gruppe zyklisch ist?
Beweis
- Sei G eine zyklische Gruppe mit einem Generator g∈G. Wir haben nämlich G=⟨g⟩ (jedes Element in G ist eine Potenz von g.)
- Sei a und b beliebige Elemente in G. Dann gibt es n, m∈Z mit a=gn und b=gm.
- Daher erh alten wir ab=ba für beliebige a, b∈G. Also ist G eine abelsche Gruppe.
Woher weißt du, ob eine Gruppe zyklisch ist?
4 Antworten. Eine endliche Gruppe ist zyklisch, wenn, und nur wenn sie von jedem Teiler ihrer Ordnung genau eine Untergruppe hat. Wenn Sie also zwei Untergruppen der gleichen Reihenfolge finden, dann ist die Gruppe nicht zyklisch, und das kann manchmal helfen.
Was ist eine zyklische Gruppe an einem Beispiel erklären?
Zum Beispiel (Z/6Z)×={1, 5} , und da 6 zweimal eine ungerade Primzahl ist, ist dies ist eine zyklische Gruppe. … Wenn (Z/nZ)× zyklisch ist, heißen seine Erzeuger Primitivwurzeln modulo n. Für eine Primzahl p ist die Gruppe (Z/pZ)× immer zyklisch und besteht aus den von Null verschiedenen Elementen des endlichen Körpers der Ordnung p.
