Wenn A eine m × n Matrix ist, dann haben ATA und AAT dieselben Eigenwerte ungleich Null … Also ist Ax ein Eigenvektor von AAT entsprechend dem Eigenwert λ. Ein analoges Argument kann verwendet werden, um zu zeigen, dass jeder Nicht-Null-Eigenwert von AAT ein Eigenwert von ATA ist, womit der Beweis abgeschlossen ist.
Sind die Eigenwerte von AAT und ATA gleich?
Die Matrizen AAT und ATA haben die gleichen Eigenwerte ungleich Null. Abschnitt 6.5 hat gezeigt, dass die Eigenvektoren dieser symmetrischen Matrizen orthogonal sind.
Ist ATA dasselbe wie AAT?
Da AAT und ATA reell symmetrisch sind, können sie mit orthogonalen Matrizen diagonalisiert werden. Aus der vorherigen Aussage folgt (da die geometrischen & algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen), dass AAT und ATA die gleichen Eigenwerte haben.
Hat ATA unterschiedliche Eigenwerte?
Wahr. Wenn zum Beispiel A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , dann hat die charakteristische Gleichung det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 keine wiederholte Wurzel. Also alle Eigenwerte von A sind verschieden und A ist diagonalisierbar. 3.35 Für jede reelle Matrix A ist AtA immer diagonalisierbar.
Können verschiedene Eigenvektoren denselben Eigenwert haben?
Zwei unterschiedliche Eigenvektoren, die demselben Eigenwert entsprechen, sind immer linear abhängig. Zwei unterschiedliche Eigenvektoren, die demselben Eigenwert entsprechen, sind immer linear abhängig.
