Weil ein Isomorphismus einen strukturellen Aspekt einer Menge oder mathematischen Gruppe beibehält, wird er oft verwendet, um eine komplizierte Menge auf eine einfachere oder besser bekannte Menge abzubilden, um sie zu etablieren die Eigenschaften des ursprünglichen Satzes. Isomorphismen sind eines der Themen, die in der Gruppentheorie untersucht werden.
Was ist eine Isomorphiefunktion?
In der abstrakten Algebra ist ein Gruppenisomorphismus eine Funktion zwischen zwei Gruppen, die eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Elementen der Gruppen herstellt, in einer Weise, die die gegebenen Gruppenoperationen respektiertExistiert zwischen zwei Gruppen ein Isomorphismus, so heißen die Gruppen isomorph.
Was macht einen Isomorphismus aus?
Definition 1 (Isomorphismus von Vektorräumen). Zwei Vektorräume V und W über demselben Körper F sind isomorph, wenn es eine Bijektion T: V → W gibt, die Addition und Skalarmultiplikation erhält, also für alle Vektoren u und v in V, und alle Skalare c ∈ F, T(u + v)=T(u) + T(v) und T(cv)=cT(v).
Was ist der Vorteil eines Isomorphismus zwischen zwei Gruppen?
Gruppen besitzen verschiedene Eigenschaften oder Merkmale, die beim Isomorphismus erh alten bleiben Ein Isomorphismus bewahrt Eigenschaften wie die Ordnung der Gruppe, ob die Gruppe abelsch oder nicht-abelsch ist, die Anzahl der Elemente jeder Ordnung usw. Zwei Gruppen, die sich in irgendeiner dieser Eigenschaften unterscheiden, sind nicht isomorph.
Was ist die Eigenschaft der Isomorphie?
Satz 1: Wenn zwischen zwei Gruppen Isomorphie besteht, dann stimmen die Identitäten überein,, d.h. wenn f:G→G′ ein Isomorphismus ist und e, e′ jeweils die Identitäten sind in G, G′, dann f(e)=e′.
