Eigenvektoren, die verschiedenen Eigenwerten entsprechen, sind linear unabhängig. Wenn also alle Eigenwerte einer Matrix verschieden sind, dann spannen ihre entsprechenden Eigenvektoren den Raum der Sp altenvektoren auf, zu denen die Sp alten der Matrix gehören.
Woher weißt du, ob Eigenvektoren linear unabhängig sind?
Eigenvektoren, die verschiedenen Eigenwerten entsprechen, sind linear unabhängig. … Wenn es wiederholte Eigenwerte gibt, die aber nicht defekt sind (d. h. ihre algebraische Multiplizität gleich ihrer geometrischen Multiplizität), gilt dasselbe aufspannende Ergebnis.
Können Eigenvektoren linear abhängig sein?
Wenn A eine komplexe N × N-Matrix mit N unterschiedlichen Eigenwerten ist, dann bildet ein beliebiger Satz von N entsprechenden Eigenvektoren eine Basis für CN. Nachweisen. Es genügt zu beweisen, dass die Menge der Eigenvektoren linear unabhängig … Da jedes Vj=0 ist, muss jede abhängige Teilmenge von {Vj} mindestens zwei Eigenvektoren enth alten.
Sind alle Eigenvektoren desselben Eigenwerts linear unabhängig?
Eigenvektoren, die verschiedenen Eigenwerten entsprechen, sind immer linear unabhängig. Daraus folgt, dass wir eine n × n-Matrix immer mit n verschiedenen Eigenwerten diagonalisieren können, da sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzen wird.
Wenn Eigenwerte linear unabhängig sind?
Wenn die Eigenwerte von A verschieden sind, stellt sich heraus, dass die Eigenvektoren linear unabhängig sind; Wenn jedoch einer der Eigenwerte wiederholt wird, können weitere Untersuchungen erforderlich sein. wobei β und γ nicht beide gleichzeitig gleich Null sind.
