Beispiel: Der Ring Z der Gaußschen ganzen Zahlen ist ein endlich erzeugter Z-Modul, und Z ist noethersch. Nach dem vorigen Satz ist Z ein Noetherscher Ring. Satz: Ringe von Brüchen von Noetherschen Ringen sind Noethersch.
Ist Z X ein Noetherscher Ring?
Der Ring Z[X, 1 /X] ist noethersch da er isomorph zu Z[X, Y]/(XY − 1) ist.
Warum ist Z Noetherianisch?
Aber es gibt nur endlich viele Ideale in Z, die I1 enth alten, da sie nach Lemma 1.21 Idealen des endlichen Rings Z/(a) entsprechen. Also kann die Kette nicht unendlich lang sein, und somit ist Z noethersch.
Was ist eine Noethersche Domäne?
Jeder Hauptidealring, wie etwa die ganzen Zahlen, ist noethersch da jedes Ideal von einem einzigen Element erzeugt wirdDies schließt Hauptidealbereiche und euklidische Bereiche ein. Ein Dedekind-Bereich (z. B. Ringe ganzer Zahlen) ist ein Noetherscher Bereich, in dem jedes Ideal von höchstens zwei Elementen erzeugt wird.
Wie beweist man, dass ein Ring noetherisch ist?
Satz Ein Ring R ist genau dann Noethersch, wenn wenn jede nichtleere Idealmenge von R ein maximales Element enthält Beweis ⇐=Sei I1 ⊆ I2 ⊆··· eine aufsteigende Kette von Idealen von R. Setze S={I1, I2, …}. Wenn jede nicht-leere Menge von Idealen ein maximales Element enthält, dann enthält S ein maximales Element, sagen wir IN.
