Ändert das Transponieren einer Matrix die Determinante?

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Ändert das Transponieren einer Matrix die Determinante?
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Video: Was gibt die Determinante einer Matrix an? | Mathe by Daniel Jung 2024, Dezember
Anonim

Beweis durch Induktion, dass das Transponieren einer Matrix ihre Determinante nicht ändert.

Was passiert mit der Determinante, wenn die Matrix transponiert wird?

Die Determinante der Transponierten einer quadratischen Matrix ist gleich der Determinante der Matrix, also |At|=|A| … Dann ist ihre Determinante 0. Aber der Rang einer Matrix ist derselbe wie der Rang ihrer Transponierten, also hat At einen Rang kleiner als n und ihre Determinante ist ebenfalls 0.

Ändert das Invertieren einer Matrix die Determinante?

Es gilt det(AB)=det(A)det(B), also det(A)det(A−1)=1. Mit anderen Worten, eine invertierbare Matrix hat eine (multiplikativ) invertierbare Determinante. (Wenn Sie über einen Körper arbeiten, bedeutet dies nur, dass die Determinante nicht Null ist.)

Ändert Zeilentausch die Determinante?

Wenn wir eine Zeile (Sp alte) von A multipliziert mit einem Skalar k zu einer anderen Zeile (Sp alte) von A hinzufügen, ändert sich die Determinante nicht. Wenn wir zwei Zeilen (Sp alten) in A vertauschen, ändert die Determinante ihr Vorzeichen.

Ändert die Skalierung einer Matrix die Determinante?

Die Determinante wird mit dem Skalierungsfaktor multipliziert

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