Wurzeln, also ist die Menge aller möglichen Wurzeln aller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen, also höchstens abzählbar. Es ist offensichtlich, dass die Menge nicht endlich ist, also ist die Menge von alle algebraischen Zahlen abzählbar.
Sind algebraische Zahlen unendlich?
Zum Beispiel ist der Körper aller algebraischen Zahlen eine unendliche algebraische Erweiterung der rationalen Zahlen … Q[π] und Q[e] sind Körper, aber π und e sind es transzendent über Q. Ein algebraisch abgeschlossener Körper F hat keine echten algebraischen Erweiterungen, d. h. keine algebraischen Erweiterungen E mit F < E.
Sind algebraische Zahlen zählbar?
Alle ganzen Zahlen und rationalen Zahlen sind algebraisch, ebenso wie alle Wurzeln von ganzen Zahlen.… Die Menge der komplexen Zahlen ist nicht abzählbar, aber die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar und hat das Maß Null im Lebesgue-Maß als Teilmenge der komplexen Zahlen. In diesem Sinne sind fast alle komplexen Zahlen transzendent.
Was gilt als abzählbar unendlich?
Eine Menge ist abzählbar unendlich wenn ihre Elemente in eine Eins-zu-Eins-Beziehung mit der Menge der natürlichen Zahlen gebracht werden können Mit anderen Worten, man kann alle Elemente in abzählen so einstellen, dass Sie, auch wenn das Zählen ewig dauern wird, in endlicher Zeit zu jedem bestimmten Element gelangen.
Sind alle algebraischen Zahlen konstruierbar?
Nicht alle algebraischen Zahlen sind konstruierbar Beispielsweise sind die Nullstellen einer einfachen Polynomgleichung dritten Grades x³ - 2=0 nicht konstruierbar. (Gauß hat bewiesen, dass eine algebraische Zahl, um konstruierbar zu sein, eine Wurzel eines ganzzahligen Gradpolynoms sein muss, das eine Potenz von 2 und nicht weniger ist.)
